소환 (환론)

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 예
참조

1. 개요

소환(素環, prime ring)은 환 $R$ 의 일종으로, 다음 조건들을 만족하는 환이다. 임의의 $r, s \in R$ 에 대하여, $rRs = \{0\}$ 이면 $r = 0$ 이거나 $s = 0$ 이다. 영 아이디얼이 소 아이디얼이거나, 임의의 두 아이디얼 $\mathfrak{a}, \mathfrak{b} \subseteq R$ 에 대하여 $\mathfrak{a}\mathfrak{b} = (0)$ 이면 $\mathfrak{a} = (0)$ 이거나 $\mathfrak{b} = (0)$ 이다. 소환의 중심은 정역이며, 표수는 0 또는 소수이다. 체, 나눗셈환, 정역은 소환이며, 가환환의 경우 정역과 소환은 동치이다.

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뇌터 환은 환론에서 아이디얼의 특정 조건을 만족하는 환을 지칭하며, 가환환의 경우 왼쪽, 오른쪽, 양쪽 뇌터 환의 개념이 일치하지만 비가환환의 경우 구별해야 하고, 힐베르트 기저 정리에 따라 뇌터 환 $R$ 에 대해 다항식환 $R[X]$ 역시 뇌터 환이 된다.
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소환 (환론)
소환
정의	환 R에 대해, 만약 R의 임의의 두 원소 a, b에 대해 aRb = {0}이면 a = 0 또는 b = 0을 만족하면 R을 소환이라고 한다.
성질
특징	소환은 영인자를 가지지 않는다.
예시	모든 정역은 소환이다. 모든 나눗셈 환은 소환이다.
관련 개념
극대 아이디얼	소환의 극대 아이디얼은 소 아이디얼이다.
소 아이디얼	소 아이디얼은 소환의 일반화된 개념이다.

2. 정의

임의의 환 $R$ 에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이 조건들을 만족시키는 환을 '''소환'''이라고 한다.

임의의 $r,s\in R$ 에 대하여, 만약 $rRs=\{0\}$ 이라면 $r=0$ 이거나 $s=0$ 이다.
영 아이디얼이 소 아이디얼이다.^[2]
임의의 두 아이디얼 $\mathfrak a,\mathfrak b\subseteq R$ 에 대하여, 만약 $\mathfrak a\mathfrak b=(0)$ 이라면 $\mathfrak a=(0)$ 이거나 $\mathfrak b=(0)$ 이다.
임의의 두 왼쪽 아이디얼 $\mathfrak A,\mathfrak B\subseteq R$ 에 대하여, 만약 $\mathfrak A\mathfrak B=(0)$ 이라면 $\mathfrak A=(0)$ 이거나 $\mathfrak B=(0)$ 이다.
임의의 두 오른쪽 아이디얼 $\mathfrak A,\mathfrak B\subseteq R$ 에 대하여, 만약 $\mathfrak A\mathfrak B=(0)$ 이라면 $\mathfrak A=(0)$ 이거나 $\mathfrak B=(0)$ 이다.
모든 왼쪽 아이디얼이 왼쪽 충실한 가군이다.
모든 오른쪽 아이디얼이 오른쪽 충실한 가군이다.

3. 성질

소환 $R$ 의 중심 $Z(R)$ 는 정역이다. 따라서, 소환의 표수는 0이거나 소수이다.^[2]

다음 함의 관계가 성립한다.^[2]

체	⇒	정역
⇓		⇓	⇘
나눗셈환	⇒	영역	⇒	축소환
⇓		⇓		⇓
좌·우 원시환	⇒	소환	⇒	반소환

가환환의 경우, 이 함의는 다음과 같이 단순해진다.

체		정역
⇕		⇕
나눗셈환	⇒	영역	⇒	축소환
⇕		⇕		⇕
좌·우 원시환		소환		반소환

가환환이 소환이 될 필요충분조건은 해당 환이 정역인 것이다.
영환이 아닌 환이 소환일 필요충분조건은 해당 모노이드의 아이디얼에 영인자가 없는 것이다.
소환 위의 행렬환은 다시 소환이다.
가환환에서 정역과 소환은 동치이다.

4. 예

모든 정역은 소환이다.
모든 단순환은 소환이며, 더 일반적으로 모든 좌 또는 우 원시환은 소환이다.
정역 위의 모든 행렬환은 소환이다. 특히, 2 × 2 정수 행렬의 환은 소환이다.
체는 소환이다.

참조

_[1] 문서 Lang Algebra
_[2] 서적 A first course in noncommutative rings Springer 2001

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